����/'�y��~�ݲ�N��e���`��౔J�WM�˛. %C9CFC9C9C9CFC9C97DCFA7C9C9CFC9CFC9A7A7CFC9CAC97DC9CFA17D7D7D \\ %527C525227CFA8FFA8FD06FFB4CAFFFFA8A8FD08FF7DFFBCBBFFFFA8A8FD %AI5_ArtFlags: 1 0 0 1 0 0 1 0 0 & = – a \int_{\alpha}^{\beta} ( x – \alpha)^2 (x – \beta) dx \\ %FFA8A8FFCA7DA87DFD07FFCABE7DAE7DFD08FFCBFD27FFA2A87D9AA8FFFF �))�SS�\z��zH�/�l�E��l_��6$'�R %FF7DFF7DA8527D527DFFFFFFFD04529A7DAEA7A783AEA783FD06FF84FD27 ?΃3[�Sa��U�*hr1U�_�O/Տ�`��%�����QuL�E�K��'���((�P�B�B�ZHB���:́���C�)]���D�G %CFCFA8517D5227CF83A7AEA7AEA7AEA783FFFF7DFD05FFCFCFA7CFA77D52 2 0 obj \displaystyle S & = \int_{-2}^3 \left\{ (x+6) – x^2 \right\} dx \\ %FFA8FFFFA8FF7DFFFD047DFF7DFD07FFCAFD04FFA8A8A8FD09FF84FD27FF %FD14FFCBA2FD06FFA09AA7FD07FFA8A8A8FD16FFA2FD27FFCBA2A8A8CBA2 %FFA8FD0CFFA9FD27FF84FD28FFA984FD29FF84FD27FFA9A8A984A9A8A984 \\ \displaystyle & = \left[ \frac{1}{3} x^3 – \frac{1}{2} (\alpha + \beta) x^2 + \alpha \beta x \right]_{\alpha}^{\beta} \\ \\ %CDCECDCECDCECDCECDCECDCECDCEFD07FFA8FD06FFC9FD05FFA8A8FFFFFF \\ %5252277DF8FF277D527DFD04FF7DFF5227A8FF52A8F87D272727A87DFD27 %FFFF7D7DFFA8FFFFFFA8FD04FF7D7DFD07FF52FD06FFA8FD04FF7DFFA8FF %27525152527DA8CBCECECDCE7CCEA6CE7CCEA6CECDCECDCECDCECDCFFFFF %FFCBA2FFFFA8FFA8FD05FF7DFFA8A8FFA8FD04FFA87DFD06FFA7A7835EAE \\ %AI9_ColorModel: 2 \end{align} \), 放物線 \( y = ax^2 + bx + c \) と2本の接線の接点の \( x \) 座標を \( \alpha, \ \beta \)(\( \alpha < \beta \))とすると,この放物線と2接線で囲まれた図形の面積 \( S_2 \) は, \( \displaystyle \color{red}{ S_2 = \frac{ |a| }{ 12 } ( \beta – \alpha)^3 } \), \( \displaystyle \color{red}{ S_1 : S_2 = 2 : 1 } \), ※ 【重要】2接線の交点の \( x \) 座標は \( \displaystyle \color{red}{ \frac{ \alpha + \beta }{2} } \) になる。, まずは2接線の交点の \( x \) 座標が,2接点の \( x \) 座標の中点になることを証明します。, 放物線 \( f(x) = ax^2 + bx + c \) を平行移動して,放物線 \( f(x) = ax^2 \) の場合で考えても,一般性を失いません。, 放物線 \( f(x) = ax^2 \) の2本の接線を \( l, \ m \) とし,2つの接点の \( x \) 座標を \( \alpha, \ \beta \)(\( \alpha < \beta \))とする。, 接点の座標はそれぞれ \( ( \alpha, \ f(\alpha) ) \),\( ( \beta, \ f(\beta) ) \), \( y – f(\alpha) = f’(\alpha) (x – \alpha) \), \( y = 2a \alpha (x – \alpha) + a \alpha ^2 \), \( y – f(\beta) = f’(\beta) (x – \beta) \), \( 2a \alpha x – a \alpha ^2 = 2a \beta x – a \beta ^2 \), \( 2a ( \alpha – \beta ) x = a ( \alpha ^2 – \beta ^2 ) \), ∴ \( \displaystyle \color{red}{ x = \frac{ \alpha + \beta }{2} } \), 以上のように,放物線の \( a, \ b, \ c \) の値によらず,2接線の交点の \( x \) 座標は,2接点の \( x \) 座標の中点になります。, 2接線の交点の \( x \) 座標は \( \displaystyle \frac{ \alpha + \beta }{ 2 } \) である。, 求める面積 \( S_2 \) を 直線 \( \displaystyle x = \frac{ \alpha + \beta }{ 2 } \) で左右に2つに分割し,\( \displaystyle \frac{1}{3} \) 公式より,, \( \begin{align} %A2FFFFFFCBFD27FFA2CECDCECDCECDCECDCECDCECDCECDCECDCECDCEFFFF %000011111111220000002200000022222222440000004400000044444444 %AI5_RulerUnits: 1 \displaystyle & = – \int_{ \color{blue}{ -2 } }^{ \color{green}{ 3 } } ( x \color{blue}{ +2 } ) ( x \color{green}{ -3 } ) dx \\ endobj %FFA984CFCDCECDCECDCECDCECDCECDCECDCECDCFFD07FFA8FD0BFF9A7DFF %C9CFCDCECDCEA6A7CDCECDCECDCECDCECDFD05FFA8FF7DFD06FFC9FD05FF %7D27FD0452F87D27525227527D527DF8FD07FFA8A8FD06FF7DA8FFFF7DFF %FF7DFFFFCAC9CF527C277C5151A67C27A6517C517CCDFD06FFA8A8FD06FF %FD09FFCFA87C525252FFA9FD27FF84A87DA8527D7DA87DFF7DA87D7DA8A8 & = \frac{ |a| }{ 24 } ( \beta – \alpha )^3 + \frac{ |a| }{ 24 } ( \beta – \alpha )^3 \\ %FFA8FFFFFFA8FD07FFA88383A1A8FFFF7DFFA87EFFFD067DA85252A87D7D \\ %6600666600996600CC6600FF6633006633336633666633996633CC6633FF %527D7D52A8FD07FF7DFFFFFFA88383AEA7AE7DFD05FF84FD27FFA9FFFF52 ��`��*�D�����f��9#h����4_̫�y�&�d=�`6{SY`o�@@/��Wa�q�V��F�C:D�蓦Ӏ������*� �y�(ǭH�L�����<9�,�r�&�+Z�E�AM�$}M�����~F�;�j�u �O��Ų��‡Gz�\��,CnD�0|�i�!5*E�] LB1M0e�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mageSettings: 0 & = – a \left[ \frac{1}{4} ( x – \alpha)^4 – \frac{1}{3} (\beta – \alpha) (x – \alpha)^3 \right]_{\alpha}^{\beta} \\ \displaystyle & = \frac{1}{3} ( \beta ^3 – \alpha ^3 ) – \frac{1}{2} ( \alpha + \beta ) ( \beta ^2 – \alpha ^2 ) + \alpha \beta ( \beta – \alpha ) \\ %52A8FD04FFF8A8FD10FFCFCDCECDCECDCECDCECDCECDCECDCECDCFFFFF7D << /Type /Page /Parent 18 0 R /Resources << /Font << /F1 25 0 R /F0 24 0 R /F2 26 0 R /F3 27 0 R /F4 28 0 R /F6 12 0 R >> /ProcSet [ /PDF /Text /ImageC ] /ExtGState << /GS1 3 0 R >> >> /MediaBox [ 0 0 728.52002 1031.76001 ] /CropBox [ 0 0 728.52002 1031.76001 ] /BleedBox [ 0 0 728.52002 1031.76001 ] /Contents [ 2 0 R ] /Rotate 0 >> %A8FFFFA8FD09FF7DFD04FFCBFD27FFA2CECDCECDCECD7C52CECDCEA67CCD %AI5_FileFormat 6.0 %CBCAFD07FFC9FD08FFBC92C2B5B593C9BCC292C2BBB593FFBCB599C2B4BB %CFA77DCFA7FFA77D7DA87CCFA7FD04FFA8FFFFFFA7A7AEA7AEA7AE76527D 置換積分の省略公式は覚えておくと計算速度をかなり早めることができるのでぜひ習得しておきましょう! 2.曲面積(表面積) 2重積分を使うことで立体の曲面の面積を求めることができます。 %A8FD04FFC9FFFFFF7D527D5227FFFFCFFD07FFA7A0FD0BA87DA87DFD0BA8 %BBB5C3FD09FFCFFD08FFBBB5BBC2FFFFFFC3BBC3BBCAFFFFFFC2BBBBBCFF %!PS-Adobe-3.0 %%AI3_Margin:10 -15 -9 8 %DD000000DD000000DDDDDDDDEE000000EE000000EEEEEEEE0000000000FF %6666006666336666666666996666CC6666FF669900669933669966669999 \displaystyle & = -3 \int_{ \color{blue}{ -2 } }^{ \color{green}{ \frac{1}{3} } } (x \color{blue}{ +2 } ) \left( x \color{green}{ -\frac{1}{3} } \right) dx \\ \end{align} \), 1 / 6公式は,「放物線と直線」や「放物線と放物線」に囲まれた面積を求めるときに非常に便利です。, 「\( y = x^2 \) と \( y = x + 6 \) に囲まれた図形の面積 \( S \)」, \( \begin{align} \\ %FFA87D7D277D7DFF52277D7D527D277D522727FFFFA8FFFF7DA87DA8A8FF センター時間短縮!裏技公式①. %CFFFFFFFA8A7A87D7D7DFFFFA8FD04FFA8FD16FFC9CECDCECDCECDCECDCE %7DFD07FFA2FD27FFCBFFA8A1C29AFD04A8FFFFA8A8FF54A884A8A8FFFFFF endstream %A8A2FFFFFFA8A8FD04FF757DFFFF7DFF7D7E2FFFA876A8FD07FF7DAEA7AE stream \end{align} \), \( \begin{align} %F87D522752FD04F8527D7DFD15FFA2CBA27D527D27522727F8777D272727 %7DFD0CFFC9A87DA77DA77DA77DA77DA77DA77DA77DA77DA77DFD07FFA852 %7DFFA8A8FD057DFD06FFA8FD08FF7DA7A7A8FFFF7DFF84FD27FFA9525252 \displaystyle & = \frac{1}{3} ( \beta – \alpha ) ( \beta ^2 + \beta \alpha + \alpha ^2 ) – \frac{1}{2} ( \beta + \alpha )^2 ( \beta – \alpha ) + \beta \alpha ( \beta – \alpha ) \\ \\ ひし形の面積の公式は 「たての対角線の半分の長さ」と「横の対角線の半分の長さ」の直角三角形の 4倍 と考えると分かりやすいです。 「たての対角線の半分の長さ」と「横の対角線の半分の長さ」の直角三角形の面積は \(高さ×底辺÷2=(たて÷2)×(横÷2)÷2\) %AI3_ColorUsage: Color �bu�� �� ����&~h#4�٬��9��nzR'�G�ɯ�Q�Br������-��A �%��lWb &Xtv������m?qQ8��m;�66+'�}��� Li�'w`� 6�w�J��o�jF8,J����� %550000005500000055555555770000007700000077777777880000008800 解の公式を用いる。 a b b ac x 2 2 - ± - 4 = また、 bが偶数のとき( =2b b ¢)は、 a b b ac x - ¢± ¢ - = 2 (3)判別式:判別式 2 = - 4D b ac ( b ac D = ¢2-4 ) 判別式 > = D D D <0, 0, 0 で解を分類できる 注)図形で交点の数を調べることができる (4)解と係数の関係 \\ \displaystyle & = – 3 \cdot \color{red}{ \left( – \frac{1}{6} \right) \left\{ \frac{1}{3} – (-2) \right\}^3 } \\ %A2A8FD06FFA8FFFFA8FD06FF7DFD05FF7DFFA8A7A7AEA783FD05FFA8FFFF %7CA17CA7A8FD07FFA1A7A1A152527CA1A1FD0BFFA8A8FD27FF7DFFCA9399 \displaystyle & \color{red}{ \int_{\alpha}^{\beta} (x – \alpha) (x – \beta) dx } \\ %7DFF7DFFA87D7D7DA852A8FFA8A8A87DFFFFCACFC2C3BBBBB5C3C3FFFFCF %52A6A627527C7C277C7CCE51CECDCE7C52CEFFFFFF7DFFFFA8FD09FF7DA8 264 2 ましゅまろ☆. \\ %7CCDCFFD06FFA8FD0CFFA8A8FFFFFF84FD27FFA9CDCECDCECD7C7CCEA6A7 stream %A7FD64FF7DFFC9C79FA7A8FF7DFFFFCFFF7DFFC7A5CFFFFFC8FD67FFCF9E %A87DA87DFFFFB5B5FD0CFF83A7AEA78383AEA783FD04FFA8FD04FFA8FD04 S & = – \int_{\alpha}^{\beta} \left\{ f(x) – g(x) \right\} dx \\ %A9FD17FFA8A8FD09FFC9FD05FF84A9FD14FFAFAFA9AFA8AF84AFAFFD0CFF 137 0 ずーま. %CBA2CBA2A27DA27DA27DA27DA27DA27DA27DA27DA27DCBA8CBA8CBA8CBA8 \\ %AI7_GridSettings: 14.1732 8 14.1732 8 1 0 1 0.29 0.29 1 0.65 0.65 %%EndData \displaystyle S & = \int_{ \alpha }^k \left| f(x) – g(x) \right| dx \\ %CC9966CC9999CC99CCCC99FFCCCC00CCCC33CCCC66CCCC99CCCCCCCCCCFF endobj %524C45FD54F87DFD27FFFD54F852FD27FFFD54F87DFD27FFFD54F852FDFC %F8F8F8527DFD05FFAF5252A8F8AF7D525252277DAFFD04FFCBFD27FFA27D %828376A85252527DFFFFC9CF7D275252F8F8A87D7D52277D527DF827F87D

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